Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $6$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $7$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $8$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 3 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 7 & 8 & 9 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((5 - λ) (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Expande $(5 - λ) (9 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (5 (9 - λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (5 \cdot 9 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $5$ por $9$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 + 5 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 5 λ - 9 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.2

Resta $9 λ$ de $- 5 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $- 8$ por $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (45 - 14 λ + λ^{2} - 48) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2

Resta $48$ de $45$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.2.2.3

Reordena $- 14 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 (9 - λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (4 \cdot 9 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 + 4 (- λ) - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.4

Multiplica $- 7$ por $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (36 - 4 λ - 42) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2

Resta $42$ de $36$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$

Paso 5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (4 \cdot 8 - 7 (5 - λ))$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Multiplica $4$ por $8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 (5 - λ))$

Paso 5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 7 \cdot 5 - 7 (- λ))$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica $- 7$ por $5$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 - 7 (- λ))$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (32 - 35 + 7 λ)$

Paso 5.4.2.2

Resta $35$ de $32$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (- 3 + 7 λ)$

Paso 5.4.2.3

Reordena $- 3$ y $7 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3) - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Expande $(1 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.2.1

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 14 λ) + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.2

Multiplica $- 14 λ$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ + 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.4

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1.2.4.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.4.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.5.1.2.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.6

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.2.6.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.6.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 14$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 3 - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.2.8

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.3

Suma $λ^{2}$ y $14 λ^{2}$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 14 λ - 3 - λ^{3} + 3 λ - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.4

Suma $- 14 λ$ y $3 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ - 6) + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- 4 λ) - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ - 2 \cdot - 6 + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.7

Multiplica $- 2$ por $- 6$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ - 3)$

Paso 5.5.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 3 (7 λ) + 3 \cdot - 3$

Paso 5.5.1.9

Multiplica $7$ por $3$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ + 3 \cdot - 3$

Paso 5.5.1.10

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 11 λ - 3 - λ^{3} + 8 λ + 12 + 21 λ - 9$

Paso 5.5.2

Suma $- 11 λ$ y $8 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + 12 + 21 λ - 9$

Paso 5.5.3

Suma $- 3 λ$ y $21 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - 3 - λ^{3} + 12 - 9$

Paso 5.5.4

Suma $- 3$ y $12$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$

Paso 5.5.5

Combina los términos opuestos en $15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 9 - 9$ .

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Paso 5.5.5.1

Resta $9$ de $9$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3} + 0$

Paso 5.5.5.2

Suma $15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$ y $0$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} + 18 λ - λ^{3}$

Paso 5.5.6

Mueve $18 λ$ .

$p (λ) = 15 λ^{2} - λ^{3} + 18 λ$

Paso 5.5.7

Reordena $15 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Factoriza $- λ$ de $- λ^{3} + 15 λ^{2} + 18 λ$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- λ$ de $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 15 λ^{2} + 18 λ = 0$

Paso 7.1.2

Factoriza $- λ$ de $15 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) + 18 λ = 0$

Paso 7.1.3

Factoriza $- λ$ de $18 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

Paso 7.1.4

Factoriza $- λ$ de $- λ (λ^{2}) - λ (- 15 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ \cdot - 18 = 0$

Paso 7.1.5

Factoriza $- λ$ de $- λ (λ^{2} - 15 λ) - λ (- 18)$ .

$- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

Paso 7.3

Establece $λ$ igual a $0$ .

$λ = 0$

Paso 7.4

Establece $λ^{2} - 15 λ - 18$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 7.4.1

Establece $λ^{2} - 15 λ - 18$ igual a $0$ .

$λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $λ^{2} - 15 λ - 18 = 0$ en $λ$ .

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Paso 7.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 15$ y $c = - 18$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 18)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3

Simplifica.

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Paso 7.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.2.3.1.1

Eleva $- 15$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 18$ .

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Paso 7.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot - 18}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 18$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 72}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.3

Suma $225$ y $72$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{297}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.4

Reescribe $297$ como $3^{2} \cdot 33$ .

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Paso 7.4.2.3.1.4.1

Factoriza $9$ de $297$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{9 (33)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$λ = \frac{15 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{15 \pm 3 \sqrt{33}}{2}$

Paso 7.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

Paso 7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- λ (λ^{2} - 15 λ - 18) = 0$ verdadera.

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$λ = 0, \frac{15 + 3 \sqrt{33}}{2}, \frac{15 - 3 \sqrt{33}}{2}$

Forma decimal:

$λ = 0, 16.11684396 \dots, - 1.11684396 \dots$